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Etude mathématique des modèles et des schémas numériques

L'analyse mathématique des modèles utilisés consiste à montrer que les modèles dérivés sont bien posés, c'est-à-dire qu'ils admettent une solution et une seule dans un cadre fonctionnel  bien adapté.


La notion de solution peut être variable selon le type de non-linéarité présent dans le modèle. Nous sommes ainsi amenés à étudier les propriétés particulières des solutions comme leur régularité, ou leur comportement asymptotique en temps long.


Par ailleurs l'analyse spectrale des modèles est souvent très utile car elle peut donner un grand nombre d'informations sur leurs comportements : taux d'instabilité et structure spatiale des modes propres globaux.


Par exemple nous avons obtenu un ensemble de résultats concernant la dérivation et l'analyse mathématique de modèles "waterbag" dans des configurations physiques variées.  Ces modèles waterbag sont issus de la réduction géométrique exacte des équations de Vlasov grâce aux invariants géométriques de Liouville et leurs structures mathématiques ont un lien très étroit avec celles des systèmes hyperboliques de lois de conservation de dimension finie ou infinie avec des fonctions flux non locales [7,10,11,13].


En ce qui concerne l'analyse spectrale nous avons fait une étude numérique du problème aux valeurs propres  associé au modèle gyrowaterbag en géométrie cylindrique [16,17]. Une analyse asymptotique et spectrale de l'opérateur intégro-différentiel gyrowaterbag en géométrie torique a conduit au développement d'un code numérique parallèle dont les résultats sont très prometteurs et conformes avec ceux que l'on obtient avec un code quasi-linéaire [14].

 

Par ailleurs nous sommes souvent amenés à construire et justifier de nouveaux modèles réduits par rapport aux modèles de départ en prenant en compte leurs propriétés particulières. Cet effort de modélisation est nécessaire afin de réduire le coût de calcul tout en conservant l’essentiel de la physique du phénomène étudié.


Par exemple à partir d’un principe variationnel Eulerien de moindre action (Euler-Poincaré), de techniques asymptotiques, et de méthodes de moyennisation Lagrangienne nous avons dérivé un système d’équations appelé « Lagrangian averaged gyrowaterbag continuum », pour modéliser la turbulence gyrocinétique dans un cadre anisotrope et isotrope, en traitant par moyennisation les petites échelles spatiales plus petites qu'un certaine échelle caractéristique. De plus nous avons démontré l’existence et l’unicité de solutions fortes locales en temps, pour le modèle isotrope. D’un point de vue mathématique (termes régularisants, caractère bien posé) et physique (traitement des petites échelles, tenseur anisotrope des fluctuations turbulentes, termes de dispersion non-linéaires) ce modèle présente des propriétés supplémentaires qui en font un bon candidat potentiel pour modéliser la turbulence électrostatique d’un plasma fortement magnétisé [15].


Nous nous attachons également à réaliser une analyse numérique des modèles. Il s'agit de mettre au point des schémas numériques pertinents et efficaces pour résoudre des EDPs non-linéaires (équations de transport cinétiques et multi-fluides, problèmes elliptiques, équations des ondes). Il s'agit également d'analyser mathématiquement ces schémas, c'est à dire de montrer dans un cadre mathématique adapté que la solution approchée du problème discret converge vers la solution exacte du problème continu, et d'obtenir des estimations d'erreur a priori.

Par exemple nous avons obtenu un ensemble de résultats concernant  la preuve mathématique de la convergence de méthodes semi-Lagrangiennes d’ordre élevé ainsi que la démonstration d’estimations d’erreur a priori pour les modèles cinétiques de Vlasov-Poisson [4,5] et Vlasov-Einstein [9]. Nous avons aussi obtenu un résultat relatif à la construction et l’analyse de convergence (avec estimation d’erreur a priori) de schémas Galerkin-discontinu préservant la contrainte d'incompressibilité du champ magnétique pour les équations d’induction de la MHD [2].


Nous nous attachons enfin à développer des méthodes numériques parallèles efficaces pour l'exploitation des codes sur un grand nombre de processeurs, ce que la grande dimensionnalité des équations cinétiques rend indispensable.


Par exemple nous avons mis au point des  schémas numériques originaux semi-Lagrangiens (parallèles) sur des maillages fixes cartésiens ou non structurés et des maillages adaptatifs de l’espace des phases allant de deux à cinq dimensions pour les équations cinétiques de type Vlasov (Vlasov-Poisson, Vlasov-Maxwell, Vlasov- Darwin, Vlasov-onde, Vlasov-gyrocinétique) [1,3,6]. Nous avons aussi mis au point des  schémas semi-Lagrangiens et de type Galerkin-discontinu pour les modèles réduits de type waterbag (gyrowaterbag, waterbag-{Poisson, Maxwell, quasineutre}) qui sont des modèles multi-fluides de une à trois dimensions (de l’espace physique) semblables à ceux rencontrés dans la théorie des systèmes hyperboliques de lois de conservation [7,8,16,17].


Ci-dessous nous présentons un résultat de simulation du modèle gyrowaterbag 3D (GMWB3D-SLCS [8,16]) avec 12 contours 3D de l’espace des phases 4D. Les figures représentent la perturbation de densité obtenue grâce à une somme de tous les contours. Le cas test représente le développement d’une instabilité cinétique ITG conduisant le plasma à un état turbulent.

 


[1] N. Besse, E. Sonnendrücker, Semi-Lagrangian schemes for the Vlasov equation on an unstructured mesh of phase space, J. Comput. Phys., 191 (2003), 341-376.

[2] N. Besse, D. Kröner, Convergence of locally divergence-free discontinuous-Galerkin methods for the induction equations system of the 2D-MHD, ESAIM M2AN Math. Mod. Numer. Anal., 39 (2005), 1177-1202.

[3] V. Grandgirard, M. Brunetti, P. Bertrand, N. Besse, X. Garbet, P. Ghendrih, G. Manfredi, Y. Sarazin, O. Sauter, E. Sonnendrücker, J. Vaclavik, L. Villard, A drift-kinetic Semi-Lagrangian 4D code for ion turbulence simulation, J. Comput. Phys., 217 (2006), 395-423.

[4] N. Besse, M. Mehrenberger,  Convergence of classes of high-order semi-Lagrangian schemes for the Vlasov-Poisson system, Math. Comp., 77 (2008), 93-123.

[5] N. Besse, Convergence of a high-order semi-Lagrangian scheme with propagation of gradients for the Vlasov-Poisson system, SIAM, J. Numer. Anal., 46 (2008), 639-670.

[6] N. Besse, G. Latu, A. Ghizzo, E. Sonnendrücker, P. Bertrand, A Wavelet-MRA-based adaptive semi-lagrangian method for the relativistic Vlasov-Maxwell system, J. Comput. Phys., 227 (2008), 7889-7916.

[7] N. Besse, F. Berthelin, Y. Brenier, P. Bertrand, The multi-water-bag equations for collisionless kinetic modeling, Kinetic and  Related  Models, 2 (2009), 39-90.

[8] N. Besse, P. Bertrand, The gyro-water-bag approach in nonlinear gyrokinetic turbulence, J. Comput. Phys., 228 (2009), 3973-3995.

[9] P. Bechouche, N. Besse, Analysis of a semi-Lagrangian method for the spherically symmetric Vlasov-Einstein system, ESAIM M2AN Math. Mod. Numer. Anal. 44 (2010), 573-595.

[10] N. Besse, On the Cauchy problem for the gyro-water-bag model, Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 21 (2011), 1839-1869.

[11] N. Besse,   On the waterbag continuum, Arch. Rational Mech. Anal., 199 (2011), 453-491.

[12] N. Besse, Y. Elskens, D. Escande, P. Bertrand,  Validity of the quasilinear theory: refutations and new numerical confirmation, Plasma Phys. Control. Fusion, 53 (2011), 025012.

[13] N. Besse,  Global weak solution for the relativistic waterbag continuum, Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 22 (2012), 1150001.

[14] N. Besse, D. Coulette, Asymptotic analysis of the eigenvalue problem for the gyrowaterbag operator in toroidal geometry. Submitted

[15] N. Besse, Lagrangian averaged gyrowaterbag continuum. Submitted

[16] D. Coulette, N. Besse, Numerical comparisons of gyrokinetic multi-water-bag models. Accepted  in J. Comput. Phys. 2013

[17] D. Coulette, N. Besse, Multi-water-bag models of ion temperature gradient instability in cylindrical geometry. Submitted

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